Question

7．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若bsinB-csinC=a，且△ABC的面积S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，则B=77.5°．

Answer 1

分析 利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B．

解答 解：在△ABC中，∵S=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bccosA，
∴tanA=1，
∴A=45°
∵bsinB-csinC=a，
∴sin²B-sin²C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos2C-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（270°-2B）-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-sin2B-cos2B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（2B+45°）=-$\frac{1}{2}$，
∴2B+45°=210°或2B+45°=330°，
∴B=77.5°或142.5°（舍去）．
故答案为：77.5°．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、二倍角公式，考查学生的计算能力，正确转化是关键．