Question

3．已知$\overrightarrow a$=（1，1，1），$\overrightarrow b$=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案；
【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞，再利用换元法求出它的最大值即可．

解答 解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1，
如图所示；
则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OB′}$=（1，1，1），
$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OE}$=（0，y，1），且E在线段D′C′上移动，
当E在D′位置时，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1×0+1×0+1×1}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}×\sqrt{{0}^{2}{+0}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当E在C′位置时，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1×0+1×1+1×1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$为最大值．
【解法二】∵$\overrightarrow a$=（1，1，1），$\overrightarrow b$=（0，y，1）（0≤y≤1），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=y+1，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
∴cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{y+1}{\sqrt{3}•\sqrt{{y}^{2}+1}}$；
设t=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，则t²-1=y²，
∴y=$\sqrt{{t}^{2}-1}$（1≤t≤$\sqrt{2}$），
∴f（t）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}-1}+1}{t}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$+$\frac{1}{t}$）；
设sinα=$\frac{1}{t}$，则1≥sinα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴g（α）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$+sinα）
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（cosα+sinα）
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴当α=$\frac{π}{4}$时，g（α）取得最大值为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，也考查了函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．