Question

17．△ABC的外接圆半径为R，C=60°，则$\frac{a+b}{R}$的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]
• B． [$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]
• D． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先由正弦定理和两角和与差的正弦公式得到$\frac{a+b}{R}$=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），再根据正弦函数的图象和性质即可求出．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，
∴$\frac{a+b}{R}$=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（120°-A）=2（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵C=60°，
∴0°＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+30°）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$sin（A+30°）≤2$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理和两角和差的正弦公式以及诱导公式，属于中档题．