Question

8．（1）设a，b是两个不相等的正数，若$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，用综合法证明：a+b＞4
（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：$\frac{\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用综合法进行证明即可．
（2）利用分析法进行证明．

解答 解：（1）因为a＞0，b＞0，且a≠b，
所以a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=1+1+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＞2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4．所以a+b＞4    （5分）
（2）因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，
要证明原不等式成立，只需证明$\sqrt{b2-ac}$＜$\sqrt{3}$a，
即证b²-ac＜3a²，又b=-（a+c），从而只需证明（a+c）²-ac＜3a²，
即证（a-c）（2a+c）＞0，
因为a-c＞0，2a+c=a+c+a=a-b＞0，
所以（a-c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立． （12分）

点评 本题主要考查不等式的证明，利用分析法和综合法是解决本题的关键．