Question

14．若等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，且a₂a₄=4，a₃+a₄=3，则$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=16．

Answer 1

分析 由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比q满足|q|＜1，且a₂a₄=4，a₃+a₄=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{3}=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=3}\end{array}\right.$，
由|q|＜1，解得${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
a₁+a₂+…+a_n=$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，
则$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=16．
故答案为：16．

点评 本题考查等比数列的前n项和的极限值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．