Question

6．已知函数f（x）=ax³+blnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．
（1）求a，b的值；
（2）是否存在实数t使函数F（x）=f（x）+lnx的图象恒在函数g（x）=$\frac{t}{x}$的图象的上方，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，解方程可得a=0，b=1；
（2）求出F（x）的解析式，假设存在实数t，即有2lnx＞$\frac{t}{x}$，即t＜2xlnx恒成立，设g（x）=2xlnx，求出导数，单调区间，可得极小值，也为最小值，由恒成立思想可得t的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax³+blnx的导数为f′（x）=3ax²+$\frac{b}{x}$，
由题意可得f′（1）=3a+b=1，f（1）=a=0，
解得a=0，b=1；
（2）F（x）=f（x）+lnx=2lnx，假设存在实数t使函数F（x）的图象
恒在函数g（x）=$\frac{t}{x}$的图象的上方，即为
2lnx＞$\frac{t}{x}$，即t＜2xlnx恒成立，
设g（x）=2xlnx，g′（x）=2（lnx+1），
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{2}{e}$，
可得t＜-$\frac{2}{e}$，则存在实数t∈（-∞，-$\frac{2}{e}$），使函数F（x）的图象
恒在函数g（x）=$\frac{t}{x}$的图象的上方．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．