Question

15．已知sinα-sinβ=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，则cos（α-β）的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，sinα-sinβ=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，将两个式子平方后求和可得（sinα-sinβ）²+（cosα-cosβ）²=（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$²，进而变形可得cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合余弦的差角公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，sinα-sinβ=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ①，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$ ②，
①²+②²可得：（sinα-sinβ）²+（cosα-cosβ）²=（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$²，
变形可得：2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2-$\sqrt{3}$，
即cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
则cos（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查余弦的和差公式，涉及同角三角函数的基本关系式的运用，关键是灵活运用余弦的差角公式．