Question

12．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，且|$\overrightarrow{BD}$|=3，则△ABC面积的最大值为6．

Answer 1

分析 由已知可得C为AC中点，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，然后代入三角形面积公式转化为二次函数求解．

解答 解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
故D为等腰三角形ABC腰AC上的中点，
又由|$\overrightarrow{BD}$|=3，
故cosA=$\frac{{b}^{2}+（\frac{b}{2}）^{2}-9}{2•b•\frac{b}{2}}=\frac{5}{4}-\frac{9}{{b}^{2}}$，
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$b²•$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{9}{{b}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{-9（{b}^{2}-20）^{2}+2304}≤6$，
故答案为：6．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，属中档题．