Question

8．若函数f（x）=lg（$\frac{2}{1-x}$+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据条件容易判断a≠0，从而可得出$f（x）=lg\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}$，根据f（x）为奇函数，定义域关于原点对称，从而讨论a的符号解不等式$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$，并满足该不等式的解集关于原点对称，这样便可求出a=-1，从而得出$f（x）=lg\frac{-（x+1）}{x-1}$，这样解不等式$lg\frac{-（x+1）}{x-1}＜0$便可得出x的取值范围．

解答 解：a=0时，显然f（x）不是奇函数；
∴a≠0；
∴$f（x）=lg\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}$；
∵f（x）的定义域关于原点对称；
∴（1）若a＞0，则$\frac{a+2}{a}＞0$，∴不等式$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$的解集不关于原点对称；
即这种情况不存在；
（2）若a＜0，则解$\frac{a（x-\frac{a+2}{a}）}{x-1}＞0$得，$\frac{a+2}{a}＜x＜1$；
∴$\frac{a+2}{a}=-1$；
解得a=-1，满足条件；
∴$f（x）=lg\frac{-（x+1）}{x-1}$；
∴解$lg\frac{-（x+1）}{x-1}＜0$得：
$0＜\frac{-（x+1）}{x-1}＜1$；
解得-1＜x＜0；
∴使f（x）＜0的x的取值范围是（-1，0）．
故选：B．

点评 考查奇函数的定语，奇函数定义域关于原点对称的特点，以及分式不等式的解法，对数函数的单调性．