Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且离心率e=$\frac{1}{3}$，点P在该椭圆上满足|PF₂|=$\frac{8}{3}$c（c为焦半距）
（1）是否存在点P，使△PF₁F₂的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列，若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由；
（2）当c=1时，A是椭圆C的左顶点，且M，N是椭圆C上的两个动点，|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，问直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出|PF₂|=$\frac{8}{3}$c，|PF₁|=$\frac{1}{3}$c，利用△PF₁F₂的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列，可得2c-$\frac{1}{3}$c=$\frac{8}{3}$c-2c=2，无解，即可得出结论．
（2）若|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，则$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$，分直线MN斜率存在与不存在讨论，即可求得直线MN过定点（-$\frac{3}{17}$，0）．

解答 解：（1）∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，∴a=3c，b=2$\sqrt{2}$c，
∵|PF₂|=$\frac{8}{3}$c，
∴|PF₁|=$\frac{10}{3}$c，
∵△PF₁F₂的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列，
∴2c+2=$\frac{8}{3}$c，c=3，
∴存在点P，使△PF₁F₂的边长是由自然数构成的公差为2的等差数列；
（2）当c=1时，a=3，b=2$\sqrt{2}$，∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
若|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|，则$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$．由题意知A（-3，0）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁），由$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$得（x₁+3）（x₁+3）-y₁²=0，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}=1$，解得直线MN方程为x=-$\frac{3}{17}$．
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，消去y可得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{18km}{9{k}^{2}+8}$，x₁x₂=$\frac{9{m}^{2}-72}{9{k}^{2}+8}$．
由$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{AN}$得（x₁+3）（x₂+3）+y₁y₂=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+（km+3）（x₁+x₂）+m²+9=0
∴（k²+1）×$\frac{9{m}^{2}-72}{9{k}^{2}+8}$+（km+3）×（-$\frac{18km}{9{k}^{2}+8}$）+m²+9=0．
解得m=$\frac{3}{17}$k或m=3k．
若m=3k，即直线MN过定点（-3，0），不合题意舍去．
m=$\frac{3}{17}$k，此时直线过定点（-$\frac{3}{17}$，0）合题意．
斜率不存在时依然满足．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理解题是关键．