Question

11．已知两曲线f（x）=cosx，g（x）=$\sqrt{3}$sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）相交于点A．若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）=g（x），运用同角的商数关系，求得A的坐标，求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，令y=0，可得B，C的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：由f（x）=g（x），即cosx=$\sqrt{3}$sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
即有A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由f′（x）=-sinx，g′（x）=$\sqrt{3}$cosx，
可得两曲线在点A处的切线斜率分别为-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，
可得切线的方程分别为y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$），
y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{π}{6}$），
再令y=0，可得x_B=$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$，x_C=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则|BC|=|x_B-x_C|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查三角方程的求解方法，直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．