Question

1．给定双曲线C：x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k_PM、k_PN，则k_PM•k_PN=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x_P，y_P），结合题意，又由M，P在双曲线上，可得x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，将其坐标代入k_PM•k_PN中，计算可得答案．

解答 设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N（-x₀，-y₀）．
设P（x_P，y_P），
则${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_P}-{y_0}}}{{{x_P}-{x_0}}}•\frac{{{y_P}+{y_0}}}{{{x_P}+{x_0}}}=\frac{{{y_P}^2-{y_0}^2}}{{{x_P}^2-{x_0}^2}}$，
又∵x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1，
∴x²=$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$+1，
则x₀²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$y₀²+1．
同理x_P²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$y_P²+1，
两式作差得x_P²-x₀²=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$（y_P²-y₀²），
即y_P²-y₀²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（x_P²-x₀²），
则${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{{{y_P}-{y_0}}}{{{x_P}-{x_0}}}•\frac{{{y_P}+{y_0}}}{{{x_P}+{x_0}}}=\frac{{{y_P}^2-{y_0}^2}}{{{x_P}^2-{x_0}^2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，设出M，N，P的坐标，利用直线斜率公式进行化简是解决本题的关键．考查学生的计算能力．