Question

13．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D、E，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AG}$；
（2）若$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=y$\overrightarrow{AC}$，且xy≠0，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则便可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
（2）由条件即可得到$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}$，这样带入$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$便可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AE}$，而由图看出D，G，E三点共线，从而便可得出$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$，这样即可求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值．

解答 解：（1）G为△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$；
（2）根据条件，$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}$；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}）$
=$\frac{1}{3x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AE}$；
又D，G，E三点共线；
∴$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$．

点评 考查三角形重心的概念及重心的性质，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则，知道三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1．