Question

5．双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，斜率为1的直线l经过M（2，0）且此双曲线与l交于A、B两点，若|AB|=4$\sqrt{3}$，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 由离心率公式可得c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，设出直线AB方程，然后联立双曲线的方程消去y得x的方程，利用|AB|=4$\sqrt{3}$，建立方程，即可求a=$\sqrt{2}$，求得b，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
设直线方程为y=x-2，
将b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即有x²-2y²=a²，
整理可得x²-8x+8+a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=8，x₁x₂=8+a²，
|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-4（8+{a}^{2}）}$=4$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{2}$，即有b=1，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，注意运用直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．