Question

12．若复数z满足|z+3|=|z-4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 设z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z-4i|（i为虚数单位），可得$\sqrt{（3+a）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（b-4）^{2}}$，化为：6a+8b-7=0．再利用原点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：设z=a+bi，（a，b∈R）．
∵|z+3|=|z-4i|（i为虚数单位），
∴$\sqrt{（3+a）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（b-4）^{2}}$，
化为：6a+8b-7=0．
∴|z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b-7=0的距离，：$\frac{|-7|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{7}{10}$，
故答案为：$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．