Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a²=3bc．
（Ⅰ）若sinA=sinC，求cosA；
（Ⅱ）若A=$\frac{π}{4}$，且a=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，利用正弦定理可得c=3b，结合余弦定理即可得解cosA的值． 
（Ⅱ）由已知可求bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由sinA=sinC，利用正弦定理可得a=c．
又a²=3bc，
所以：c=3b．
所以：由余弦定理可得$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+9{b^2}-9{b^2}}}{2b×3b}=\frac{1}{6}$． …6分
（Ⅱ）由已知a²=3bc，且a=3，
所以bc=3．
故△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×3×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{3}{4}\sqrt{2}$． …13分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．