Question

18．设p：?x₀∈R，-x${\;}_{0}^{2}$+2x₀-m＞0，q：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+4mx+1在R内使增函数，则￢p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据函数和不等式的性质分别求出，命题p，q成立的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：：?x₀∈R，-x${\;}_{0}^{2}$+2x₀-m＞0，
则判别式△=4-4m＞0，即m＜1，
即p：m＜1，￢p：m≥1，
若f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+4mx+1在R内使增函数，
则f′（x）≥0恒成立，即若f′（x）=x²-4x+4m≥0，
则判别式△=16-16m≤0，
即m≥1，即q：m≥1，
则p是q的充要条件，
故选：C．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质以及函数单调性和导数之间的关系求出m的取值范围是解决本题的关键．