Question

13．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），F₁，F₂为C的左右焦点，P为C右支上一点，且使∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，又△F₁PF₂的面积为3$\sqrt{3}$a²．
（I）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上任意一点，问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QF₂A=λ∠QAF₂恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的定义，结合三角形的面积公式建立a，c的方程即可．
（2）设Q（asecθ，$\sqrt{3}$atanθ），根据两角和差的正切公式建立方程公式进行化简证明即可．

解答 解：（1）如图，在△PF₁F₂中，由余弦定理，
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{π}{3}$，
即4c²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁||PF₂|-2|PF₁||PF₂|cos$\frac{π}{3}$
=4a²+|PF₁||PF₂|，
则|PF₁||PF₂|=4c²-4a²=4b²，
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×4{b}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$a²．
∴b²=3a²．c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
则离心率e=$\frac{c}{a}=2$
（2）由（1），双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
若QF₂⊥x轴，此时Q（2a，3a），c=2a，△QAF₂为等腰Rt△，
∠QAF₂=$\frac{1}{2}$QAF₂，
下证$λ=\frac{1}{2}$．
令Q（asecθ，$\sqrt{3}$atanθ），
tan∠QF₂A=-k_QF2=-$\frac{\sqrt{3}atanθ}{asecθ-2a}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{2-secθ}$，
tan∠QAF₂=$\frac{\sqrt{3}atanθ}{asecθ+a}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}$，
tan2∠QAF₂=$\frac{\frac{2\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}}{1-（\frac{\sqrt{3}tanθ}{secθ+1}）^{2}}$=$\frac{xtacθ（secθ+1）}{（secθ+1）^{2}-3ta{c}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{3}tacθ（secθ+1）}{-2secθ+2secθ+4}$=$\frac{2\sqrt{3}tanθ（secθ+1）}{-2（secθ+1）（secθ-2）}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{2-secθ}$=tan∠QF₂A，
∴存在常数，使∠QAF₂=∠QF₂A恒成立．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，以及三角函数的化简和证明，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．