Question

8．已知数列{a_n}是等差数列，公差d＞0，a₁=2，其前n项为S_n（n∈N^*）．且a₁，a₄，S₅+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）若a_nb_n=4，数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，证明：对n∈N^*，$\frac{4}{3}≤{T_n}$＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列{a_n}的a₁=2，且a₁，a₄，S₅+2成等比数列．可得（2+3d）²=2（12+10d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （Ⅰ）解：由等差数列{a_n}的a₁=2，且a₁，a₄，S₅+2成等比数列．
（2+3d）²=2（12+10d），
解得d=2或d=-$\frac{10}{9}$．
由d＞0，
∴d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
S_n=$\frac{n（2n+2）}{2}$=n²+n．
（Ⅱ）证明：由a_nb_n=4，∴b_n=$\frac{4}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n}$．
∴b_nb_n+2=$\frac{4}{n（n+2）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n=2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=3-$\frac{2（2n+3）}{（n+1）（n+2）}$．
T_n+1-T_n＞0，因此数列{T_n}单调递增．
∴T₁≤T_n＜3，
∴对n∈N^*，$\frac{4}{3}≤{T_n}$＜3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．