Question

已知向量

p

=（cos2x，a），

q

=（a，2+

3

sin2x），函数f（x）=

p

•

q

-5（a∈R，a≠0）
（1）求函数f(x)在[0，

π

2

]上的最大值
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值，（不必证明），并求函数y=f（x）在（0，b]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）把向量的坐标代入

p

•

q

，再由两角和的正弦公式对解析式整理，再由x∈[0，

π

2

]求出2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，再由正弦函数的性质求出sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，最后再对a进行分类求出对应的最大值；
（2）把a的值代入求出函数的周期，再由条件和正弦函数图象和性质求出b的值，再由正弦函数的单调区间和整体思想求出增区间，再结合x的范围求出增区间．

解答：解：（1）由题意得f（x）=

p

•

q

-5
=acos2x+

3

asin2x+2a-5
=2asin(2x+

π

6

)+2a-5，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
当a＞0时，f（x）的最大值为4a-5，
当a＜0时，f（x）的最大值为a-5，
（2）当a=2时，y=f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，
∴函数的最小正周期为π，
∵函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，
∴-4sin(2x+

π

6

)-1=-1，即-4sin(2x+

π

6

)=0在∈（t，t+b]上有且仅有两个不同的实根，
∴b的值为π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得，

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，（k∈Z）
∵x∈[0，π]，∴k=0，
函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[

π

6

，

2π

3

]．

点评：本题考查了数量积的坐标公式应用，以及正弦函数的性质应用，考查了分类讨论思想和整体思想．