精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知向量
p
=(-cos 2x,a),
q
=(a,2-
3
sin 2x),函数f(x)=
p
q
-5(a>0).
(1)求函数f(x)(x∈R)的值域;
(2)当a=2时,求函数y=f(x)在[0,π]上单调递增区间.
分析:(1)根据向量数量积的坐标公式,得到f(x)的含有参数a的三角函数表达式,再用辅助角公式合并,即可根据正弦函数的图象与性质得到函数f(x)(x∈R)的值域;
(2)a=2时,f(x)=-4sin(2x+
π
6
)-1
.由正弦函数的单调区间的结论列式,可得到函数f(x)的含周期的单调增区间,再结合x∈[0,π],取交集可得函数y=f(x)在[0,π]上单调递增区间.
解答:解:(1)f(x)=
p
q
-5=-acos2x-
3
asin2x+2a-5
=-2asin(2x+
π
6
)+2a-5
.…(3分)
因为x∈R,所以-1≤sin(2x+
π
6
)≤1

因为a>0,所以-2a×1+2a-5≤f(x)≤-2a×(-1)+2a-5.
故f(x)的值域为[-5,4a-5].…(6分)
(2)a=2时,f(x)=-4sin(2x+
π
6
)-1
,…(8分)
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
2
+2kπ,k∈Z
,得
π
6
+kπ≤x≤
3
+kπ,k∈Z
.…(10分)
因为x∈[0,π],所以取k=0,得
π
6
≤x≤
3

∴函数y=f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[
π
6
3
]
.…(12分)
点评:本题给出向量的数量积的一个函数,求函数的单调区间与值域.着重考查了平面向量数量积的坐标公式、三角恒等化简和辅助角公式等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A;
②已知矩阵B=
1-1
01
,点O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积.
(2)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
②设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.
(3)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若关于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量
m
=(2a-c,b)与向量
n
=(cosB,-cosC)互相垂直.
(1)求角B的大小;
(2)求函数y=2sin2C+cos(B-2C)的值域;
(3)若AB边上的中线CO=2,动点P满足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
(θ∈R)
,求(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案