Question

13．设f（x）=4cos（ωx-$\frac{π}{6}）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω$sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（1）若最小正周期为π，求ω的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式f（x）-m≥0对x∈$[{0，\frac{2π}{3}}]$都成立，求m的最大值．
（3）若f（x）在区间$[{-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}}]$上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）根据函数f（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最大值．
（3）依题意知$[{-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}}]⊆[{\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}}]$，对某个k∈Z成立，故必有k=0，于是$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3π}{2}≥-\frac{π}{4ω}\\ \frac{π}{2}≤\frac{π}{4ω}\end{array}\right.$，解得ω的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=2\sqrt{3}sinωxcosωx+2{sin^2}ωx+cos2ωx$=$\sqrt{3}sin2ωx+1$，$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=π$，∴ω=1．
（2）由（1）得$f（x）=\sqrt{3}sin2x+1$，对于x∈$[{0，\frac{2π}{3}}]$，∴$0≤2x≤\frac{4π}{3}$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin2x≤1$，∴$-\frac{1}{2}≤f（x）≤\sqrt{3}+1$，
由题意得$m≤-\frac{1}{2}$，即m最大值为$-\frac{1}{2}$． 
（3）因为y=sinx在每个闭区间$[{\;}\right.2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}\left.{\;}]（k∈Z）$上为增函数，
$f（x）=\sqrt{3}sin2ωx+1（ω＞0）$在每个区间$[{\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{4ω}}]，（k∈Z）$上为增函数．
依题意知：$[{-\frac{3π}{2}，\frac{π}{2}}]⊆[{\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}，\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{4ω}}]$ 对某个k∈Z成立，
此时必有k=0，于是，$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3π}{2}≥-\frac{π}{4ω}\\ \frac{π}{2}≤\frac{π}{4ω}\end{array}\right.$，解得$ω≤\frac{1}{6}$，
故ω的最大值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．