Question

8．正项数列{a_n}，a₁=1，前n项和S_n满足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n≥2），则a₁₀=（　　）

• A． 72
• B． 80
• C． 90
• D． 82

Answer 1

分析 通过对S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n≥2）两边同时除以$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$整理可知$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=2（n≥2），进而可知数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=2（n≥2），
又∵$\sqrt{{S}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=（2n-1）²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n-1）²-（2n-3）²=8n-8，
∴a₁₀=8×10-8=72，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．