Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=9，S₆=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项的和S_n；
（2）设数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}$}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{4}$；
（3）是否存在自然数n，使得s₁+$\frac{s_2}{2}+\frac{s_3}{3}$+…+$\frac{s_n}{n}$-（n-1）²=2009？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=9\\ 6{a_1}+15d=66\end{array}\right.$，从而解得；
（2）化简${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+$…$+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）+…+（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$）]，从而证明；
（3）由s_n=2n²-n得$\frac{{s}_{n}}{n}$=2n-1，从而可得2n-1=2009，从而解得．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃=9，S₆=66可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=9\\ 6{a_1}+15d=66\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=4；
因此，a_n=4n-3，${s_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=2{n^2}-n$；
（2）证明：${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+$…$+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+$…$+\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$
=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）+…+（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$）]
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{4n+1}）=\frac{n}{4n+1}＜\frac{n}{4n}=\frac{1}{4}$；
（3）由s_n=2n²-n得$\frac{{s}_{n}}{n}$=2n-1，
s₁+$\frac{s_2}{2}+\frac{s_3}{3}$+…+$\frac{s_n}{n}$-（n-1）²
=1+3+5+…+（2n-1）-（n-1）²
=2n-1=2009，
解得，n=1005；
故存在满足条件的自然数n=1005．

点评 本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于中档题．