Question

在空间四边形ABCD中，

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，若

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

，则m+n+p=

1

．

Answer 1

分析：根据AC、BD的中点分别为P、Q，结合向量的线性运算法则算出

PQ

=

1

2

(

AB

+

CD

)，从而得到

PQ

=3

a

+3

b

-5

c

，与题意

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

加以比较，解出m、n、p的值，可得本题答案．

解答：解：∵Q为BD的中点，∴

AQ

=

1

2

(

AB

+

AD

)，
又∵P为AC的中点，可得

AP

=

1

2

AC

=

1

2

(

AD

+

DC

)
∴

PQ

=

AQ

-

AP

=

1

2

(

AB

+

AD

)-

1

2

(

AD

+

DC

)=

1

2

(

AB

+

CD

)．
∵

AB

=

a

-2

c

，

CD

=5

a

+6

b

-8

c

∴

PQ

=

1

2

(

AB

+

CD

)=

1

2

[(

a

-2

c

)+(5

a

+6

b

-8

c

)]=3

a

+3

b

-5

c

，
∵

PQ

=m

a

+n

b

+p

c

，
∴根据空间向量基本定理，得m=3，n=3，p=-5．
由此可得m+n+p=3+3-5=1
故答案为：1

点评：本题在空间四边形中给出对角线的中点，求向量的线性表示式．着重考查了向量的线性运算法则和空间向量基本定理等知识点，属于中档题．