【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,若椭圆经过点
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设斜率为的直线
与以原点为圆心,半径为
的圆交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,且
,当
取得最小值时,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
最小值
,直线
的方程为
.
【解析】试题分析:(1)由三角形的面积,即可求得c=2,将点
代入椭圆方程,由椭圆的性质a2=b2+c2,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)直线的方程为
,则原点到直线
的距离
,由弦长公式可得
.将
代入椭圆方程
,得
,得
.可得
.可得所求结论.
试题解析:(1)由的面积可得
,即
,∴
.①
又椭圆过点
,∴
.②
由①②解得,
,故椭圆
的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,则原点到直线
的距离
,
由弦长公式可得.
将代入椭圆方程
,得
,
由判别式,解得
.
由直线和圆相交的条件可得,即
,也即
,
综上可得的取值范围是
.
设,
,则
,
,
由弦长公式,得.
由,得
.
∵,∴
,则当
时,
取得最小值
,此时直线
的方程为
.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的方程为:
,直线
的方程为
.
(1)求证:直线恒过定点;
(2)当直线被圆
截得的弦长最短时,求直线
的方程;
(3)在(2)的前提下,若为直线
上的动点,且圆
上存在两个不同的点到点
的距离为
,求点
的横坐标的取值范围.
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【题目】已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令 ,写出Tn关于n的表达式,并求满足Tn>
时n的取值范围.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA,sinA的值;
(2)若cosB+cosC= ,求cosC+
sinC的值.
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【题目】某人在连续7天的定点投篮的分数统计如下:在上述统计数据的分析中,一部分计算如右图所示的算法流程图(其中 是这7个数据的平均数),则输出的S的值是( )
观测次数i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
观测数据ai | 5 | 6 | 8 | 6 | 8 | 8 | 8 |
A.1
B.
C.
D.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,E为CD上任意一点.
(I)求证:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)若CD= a,是否存在这样的E点,使得AD1与平面B1AE成45°的角?说明理由.
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【题目】若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,过点A(-4,4)且焦点在x轴.
(1)求抛物线方程;
(2)直线l过定点B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为8,求直线l的方程.
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