Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，E为CD上任意一点．
（I）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）若CD= a，是否存在这样的E点，使得AD1与平面B1AE成45°的角？说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（I）连接A1D，B1C，
∵AA1=AD，AA1∥AD，AA1⊥AD，
∴四边形AA1D1D是正方形，
∴AD1⊥A1D，
∵A1B1⊥平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，
∴A1B1⊥AD1 ，
又A1D平面A1B1CD，A1B1平面A1B1CD，A1B1∩A1D=A1 ，
∴AD1⊥平面A1B1CD，又B1E平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1 ．
（II）以A为原点，以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系，
则A（0，0，0），D1（0，a，a），B1（ a，0，a），设E（m，a，0），（0 ）．
∴ =（0，a，a）， =（ a，0，a）， =（m，a，0）．
设平面B1AE的法向量为 =（x，y，z），则 ，
∴ ，令x=1得 =（1，﹣ ，﹣ ）．
∴cos＜ ＞= =﹣ =﹣ ．
假设存在这样的E点，使得AD1与平面B1AE成45°的角，
则 = ，解得m= a．
∴CD上存在点E使得AD1与平面B1AE成45°的角．

【解析】（I）连接A1D，B1C，则可通过证明AD1⊥平面A1B1CD得出B1E⊥AD1 ． （II）以A为原点建立坐标系，设DE=m，求出 及平面B1AE的法向量 ，令|cos＜ ＞|= 解出m，根据m的值得出结论．
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．