Question

【题目】设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）

∴ ，= ，

∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）

∴ ，令g'（x）=0，得x=2，

列表如下：

∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，

即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1﹣ln2）+2a，

∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，

∴g（2）＞0

（2）证明：由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，

∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0

从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0

故f（x）在（0，+∞）上是增函数

（3）证明：由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴当x＞1时，f（x）＞f（1）

又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0

∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0

∴x＞ln2x﹣2alnx+1

故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1

【解析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解复合函数单调性的判断方法(复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”)，还要掌握函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)的相关知识才是答题的关键．