Question

9、AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证：AB=2BC．

Answer 1

分析：证法一、可以连接OD，构造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得出结论；
证法二、连接OD，DB，再证明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，转化为证明CO=2BC

解答：证明：法一：连接OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
证法二：连接OD、BD．
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．

点评：本题考查的知识点是切线的性质，即切线垂直过切点的半径，将问题转化为直角三角形问题，解直角三角形即可得到答案．