Question

17．已知数列{a_n}的各项均为正数，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=$\frac{5}{11}$和S=$\frac{10}{21}$．
（1）试求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=（n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据程序框图分析程序功能，利用裂项相消法，求出数列的首项和公式，可得答案；
（2）利用错位相减法，结合（1）中结论，可得{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）由框图可知该程序的功能是，计算并输出 S=$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}•{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}•{a}_{k+1}}$的值，…（2分）
∵{a_n}是等差数列，其公差为d，则有$\frac{1}{{a}_{k}•{a}_{k+1}}$=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{k}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
∴S=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）=$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}$），…（4分）
由题意可知，k=5时，S=$\frac{5}{11}$；
 k=10时，S=$\frac{10}{21}$；
即$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{6}}$）=$\frac{5}{11}$；$\frac{1}{d}$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{11}}$）=$\frac{10}{21}$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=-1\\ d=-2\end{array}\right.$（舍去）   …（6分）      
∴a_n=2n； …（7分）     
（2）∵b_n=（n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=（n+1）•4ⁿ，
∴T_n=2•4¹+3•4²+4•4³+…+（n+1）•4ⁿ，
4T_n=2•4²+3•4³+4•4⁴+…+（n+1）•4ⁿ⁺¹，
两式相减得：
-3T_n=2•4¹+4²+4³+…+4ⁿ-（n+1）•4ⁿ⁺¹
=4+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-（n+1）•4ⁿ⁺¹
=$\frac{8}{3}$-（n+$\frac{2}{3}$）•4ⁿ⁺¹，
∴T_n=$（\frac{3n-2}{9}）$•4ⁿ⁺¹-$\frac{8}{9}$，

点评 本题考查的知识点是数列求和，熟练掌握裂项相消法和错位相减法求和的方法步骤，是解答的关键．