Question

【题目】如图，已知平面平面，B为线段的中点，，四边形为正方形，平面平面，，，M为棱的中点.

（1）若N为线段上的点，且直线平面，试确定点N的位置；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）N为的中点；（2）.

【解析】

（1）根据线面平行的性质，得到线线平行，在同一个平面中，根据相似三角形，即可得到点的位置；

（2）以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的计算公式，即可求得结果.

（1）连接，∵直线平面，平面，

平面平面，

又M为的中点，为的中位线，

∴N为的中点；

（2）设，则，，

又∵B为的中点，.

，

又平面平面，平面平面

∴四边形为平行四边形.

又，∴四边形为菱形.

又，，

，，

，

，平面平面

平面，，

，，两两互相垂直

∴以A为坐标原点，

分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

如下图所示：

依题意，得，，，

设平面的一个法向量

则有且得：

且

令，得，

故

又平面即为平面

平面的一个法向量，

∴所求锐二面角的余弦值为：

.

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.