Question

14．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面积为（　　）

• A． 36π
• B． 28π
• C． 16π
• D． 12π

Answer 1

分析 由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．

解答 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=2$\sqrt{2}$，
∴长方体的对角线AC₁=$\sqrt{4+4+8}$=4，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC₁=4，可得半径R=2，
因此，该球的表面积为S=4πR²=4π×2²=16π．
故选：C．

点评 本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．