Question

8．已知过A（0，2）的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．
（Ⅰ）求C点轨迹E的方程；
（Ⅱ）当AC不在轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用AC是直径，所以BA⊥BC，或C、B均在坐标原点，由此求C点轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线AC的方程为y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得：x²-8kx-16=0，利用韦达定理及对数的几何意义，证明QC⊥PQ，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）解：设C点坐标为（x，y），则B点坐标为$（{\frac{x}{2}，0}）$．
因为AC是直径，所以BA⊥BC，或C、B均在坐标原点．
因此$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{x}{2}$，2）•（$\frac{x}{2}$，y）=0，
故有$\frac{x^2}{4}+2y=0$，即x²=8y，…3 分
另一方面，设$C（{{x_0}，\frac{x_0^2}{8}}）$是曲线x²=8y上一点，
则有$AC=\sqrt{x_0^2+{{（{\frac{x_0^2}{8}-2}）}^2}}=\frac{x_0^2+16}{8}$，AC中点纵坐标为$\frac{{2+\frac{x_0^2}{8}}}{2}=\frac{x_0^2+16}{16}$，
故以AC为直径的圆与x轴相切．
综上可知C点轨迹E的方程为x²=8y．                                         …（5分）
（Ⅱ）证明：设直线AC的方程为y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}=8y\end{array}\right.$得：x²-8kx-16=0
设 C（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则有x₁x₂=-16．                                       …8 分
由$y=\frac{x^2}{8}$对x求导知$y'=\frac{x}{4}$，
从而曲线E在P处的切线斜率${k_2}=\frac{x_2}{4}$，
直线BC的斜率${k_1}=\frac{{\frac{x_1^2}{8}}}{{{x_1}-\frac{x_1}{2}}}=\frac{x_1}{4}$，…10 分
于是 ${k_1}{k_2}=\frac{{{x_1}{x_2}}}{16}=\frac{-16}{16}=-1$．
因此QC⊥PQ．
所以△PQC恒为直角三角形．                                                   …（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．