Question

20．已知函数f（x）=2x³-ax²+1．
（1）当a=4时，求函数f（x）的极大值；
（2）若函数f（x）在R上有且仅有两个零点，求实数a的值；
（3）求证：$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}（{n∈N且n≥2}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的导数，结合函数的零点问题求出a的值即可；
（3）当n∈N且n≥2时，f（n）=2n³-4n²+1≥f（2）＞0，从而2n³＞4n²-1＞0，证出结论即可．

解答 解：（ 1）当a=4时，f（x）=2x³-4x²+1，$f'（x）=6x（x-\frac{4}{3}）$，

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数y=f（x）的极大值为f（0）=1；…（4分）
（2）f（x）=2x³-ax²+1在R上有且仅有两个零点，$f'（x）=6x（x-\frac{a}{3}）$．

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	$（\frac{a}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	1	↘	$1-\frac{a^3}{27}$	↗

当a＞0时，函数在（-∞，0）上递增且恰有1个零点，f（0）=1＞0，
因而必有$f（\frac{a}{3}）=1-\frac{a^3}{27}=0$得a=3＞0，所以a=3；…（6分）
当a=0时，f'（x）=6x²≥0，函数y=f（x）在（-∞，+∞）上递增，
函数y=f（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；…（7分）

x	$（-∞，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	$（\frac{a}{3}，0）$	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	$1-\frac{a^3}{27}$	↘	1	↗

当a＜0时，函数y=f（x）在$（-∞，\frac{a}{3}）$上递增且恰有1个零点，但在$（\frac{a}{3}，+∞）$上无零点，
因而函数y=f（x）在R只有1个零点，不符合题意，应舍去．
综上所述，a=3；…（8分）
（其它解法酌情给分）
（3）证明：由（ I）当a=4时，f（x）=2x³-4x²+1在x∈[2，+∞）递增，
有f（x）≥f（2）=1＞0，当n∈N且n≥2时，f（n）=2n³-4n²+1≥f（2）＞0，
从而2n³＞4n²-1＞0，$\frac{1}{n^3}＜\frac{2}{{4{n^2}-1}}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，n=2，3，…，n…（10分）$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$．
所以，$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$（n∈N且n≥2）．…（12分

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．