Question

5．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，$\frac{1}{4}（{a＞b}）$，已知三件商品都被抢购成功的概率为$\frac{1}{24}$，至少有一件商品被抢购成功的概率为$\frac{3}{4}$．
（1）求a，b的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$．
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
因为a＞b，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$．                    …（4分）
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），
则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．         …（5分）
而$P（X=0）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=4）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$；$P（X=6）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{5}{24}$；$P（X=8）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；$P（X=10）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$；$P（X=12）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$．                   …（9分）
所以X的分布列为：

X	0	2	4	6	8	10	12
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

于是有$E（X）=0×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+6×\frac{5}{24}+8×\frac{1}{12}+10×\frac{1}{24}+12×\frac{1}{24}=\frac{23}{6}$…（12分）

点评 本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．