Question

17．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．
其中正确结论的序号是②．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，若①成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若②成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故②成立；若③成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的．

解答 解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，

依题意不妨令，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AE=CF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=EF=FD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
①，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，
∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除①；
②，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD
取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故②正确；
③，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除③；
故答案为：②

点评 本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题目．