Question

9．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂ 于 A，B 两点．若|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|成等差数列，且$\overrightarrow{BF}$与$\overrightarrow{FA}$反向，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF=α，则由题意知tanα=$\frac{b}{a}$，△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α=$\frac{AB}{OA}$，由此推导出-tan2α=-$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，从而能求出离心率．

解答 解：如图，设实轴长为2a，虚轴长为2b，
令∠AOF=α，则由题意知tanα=$\frac{b}{a}$，
△AOB中，∠AOB=180°-2α，tan∠AOB=-tan2α
=$\frac{AB}{OA}$，
∵|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{AB}$|，|$\overrightarrow{OB}$|成等差数列，
∴设|$\overrightarrow{OA}$|=m-d、|$\overrightarrow{AB}$|=m、|$\overrightarrow{OB}$|=m+d，
∵OA⊥BF，∴（m-d）²+m²=（m+d）²，
整理，得d=$\frac{1}{4}$m，
∴-tan2α=-$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$
解得$\frac{b}{a}$=2或$\frac{b}{a}$=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．