Question

7．已知点G（5，4），圆C₁：（x-1）²+（y-4）²=25，过点G的动直线l与圆C₁，相交于两点E、F，线段EF的中点为C．
（Ⅰ）求点C的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）若过点A（1，0）的直线l₁：kx-y-k=0，与C₂相交于两点P、Q，线段PQ的中点为M，l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设C（x，y），由圆的性质及勾股定理，得（x-1）²+（y-4）²+（x-5）²+（y-4）²=（5-1）²+（4-4）²，即可求点C的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求：|AM|•|AN|为定值．

解答 （Ⅰ）解：圆C₁：（x-1）²+（y-4）²=25的圆心C₁（1，4），半径为5，
设C（x，y），由圆的性质及勾股定理，
得（x-1）²+（y-4）²+（x-5）²+（y-4）²=（5-1）²+（4-4）²，
化简并整理，得（x-3）²+（y-4）²=4，∴点C的轨迹C₂的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4．…（6分）
（Ⅱ）证明：∵过点A（1，0）的直线l₁与C₂相交于P、Q两点．
结合C₂的方程（x-3）²+（y-4）²=4，知k≠0，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，得$N（{\frac{2k-2}{2k+1}，-\frac{3k}{2k+1}}）$，
有直线C₂M与l₁垂直，∴C₂M的方程为$y-4=-\frac{1}{k}（x-3）$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{y-4=-\frac{1}{k}（x-3）}\end{array}\right.$得，$M（{\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}，-\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{K^2}}}}）$，
则$|AM|=\sqrt{{{（{1-\frac{{{k^2}+4k+3}}{{1+{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{{4{k^2}+2k}}{{1+{K^2}}}}）}^2}}=\frac{{2|2k+1|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+{k^2}}}$，$|AN|=\sqrt{{{（{1-\frac{2k-2}{2k+1}}）}^2}+{{（{-\frac{3k}{2k+1}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{1+{k^2}}}}{|2k+1|}$，
∴$|AM|•|AN|=\frac{{2|2k+1|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+{k^2}}}•\frac{{3\sqrt{1+{k^2}}}}{|2k+1|}=6$为定值．…（12分）

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线与直线的交点，考查向量知识的运用，属于中档题．