【题目】如图,抛物线:
与椭圆
:
在第一象限的交点为
,
为坐标原点,
为椭圆的右顶点,
的面积为
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线
交
于
、
两点,射线
、
分别交
于
、
两点,记
和
的面积分别为
和
,问是否存在直线
,使得
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在直线
符合条件
【解析】试题分析:(1)设,因为
的面积为
,求得
,代入抛物线即可求
,则抛物线方程可求;(2)
,则设法求出
与
的表达式,并找到它们之间的联系.为此,设直线
的方程为
.与
联立,设
,
,可知
,
.直线OC的方程为
,与
联立并整理得
,则
可求,直线方程可得.
试题解析:(1)因为的面积为
,设
,所以
,
代入椭圆方程得,抛物线的方程是:
.
(2)存在直线符合条件. 显然直线
不垂直于y轴,故直线
的方程可设为
.与
联立,设
,
理由:显然直线不垂直于y轴,故直线
的方程可设为
,
与联立得
.
设,
,则
,
,
∴.
由直线OC的斜率为
,故直线OC的方程为
,与
联立得
,同理,
,
所以.
可得,
要使,只需
,
即,解得
,
所以存在直线符合条件.
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【题目】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假:
(1)对任意x∈R,zx>0(z>0);
(2)对任意非零实数x1,x2,若x1<x2,则;
(3)α∈R,使得sin(α+)=sin α;
(4)x∈R,使得x2+1=0.
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【题目】已知函数f(xt)=xt2+bxt .
(1)若b=2,且xt=log2t,t∈[ ,2],求f(xt)的最大值;
(2)当y=f(xt)与y=f(f(xt))有相同的值域时,求b的取值范围.
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【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的右焦点坐标为
,求
的值;
(2)由椭圆上不同三点构成三角形称为椭圆的内接三角形.若以
为直角顶点的椭圆
的内接等腰直角三角形恰有三个,求
的取值范围.
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【题目】已知,直线
:
,椭圆
:
,
、
分别为椭圆
的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点
时,求直线
的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
,
两点,
,
的重心分别为
,
,若原点
在以线段
为直径的圆内,求实数
的取值范围.
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【题目】(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为
,椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合,过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】对于无穷数列,记
,若数列
满足:“存在
,使得只要
(
且
),必有
”,则称数列
具有性质
.
(Ⅰ)若数列满足
判断数列
是否具有性质
?是否具有性质
?
(Ⅱ)求证:“是有限集”是“数列
具有性质
”的必要不充分条件;
(Ⅲ)已知是各项为正整数的数列,且
既具有性质
,又具有性质
,求证:存在整数
,使得
是等差数列.
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【题目】如图,点是菱形
所在平面外一点,
,
是等边三角形,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求直线与平面
的所成角的大小.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,
.
(1)求证:PD⊥平面PAB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
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