Question

在灯谜晚会上,猜谜者需猜两条谜语(谜语1和谜语2),猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜,如果他决定先猜谜语i(i=1,2),则只有当他猜中此谜后才被允许猜另一条谜语,否则就不允许他猜另一条谜语,若猜谜者猜中谜语i(i=1,2),则奖x_i元,一中一得.设猜谜语i(i=1,2)这两件事是互不影响的,试问:

(1)他应先猜哪条谜语?

(2)若x₁=200,x₂=100,P₁=0.6,P₂=0.8(P₁、P₂分别为猜中谜语1、谜语2的概率),则应先猜哪条?谜语?

Answer 1

解:(1)设猜中谜语i(i=1,2)的概率为P_i(i=1,2).

若先猜谜语1,则所得奖金ξ₁的分布列为

ξ1	0	x1	x1+x2
P	1-P1	P1(1-P2)	P1P2

所获奖金的期望

Eξ₁=x₁P₁(1-P₂)+(x₁+x₂)P₁P₂=x₁P₁+x₂P₁P₂;

若先猜谜语2,则所得奖金ξ₂的分布列为

ξ2	0	x2	x1+x2
P	1-P2	P2(1-P1)	P2P1

所获奖金的期望

Eξ₂=x₂P₂(1-P₁)+(x₁+x₂)P₂P₁=x₂P₂+x₁P₁P₂;

当Eξ₁＞Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＞x₂P₂+x₁P₁P₂时,先猜谜语1;

当Eξ₁＜Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＜x₂P₂+x₁P₁P₂时,先猜谜语2;

当Eξ₁=Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂=x₂P₂+x₁P₁P₂时,先猜谜语1和先猜谜语2一样.

(2)由题设可得Eξ₁=168,Eξ₂=176,因为Eξ₁＜Eξ₂,所以应先猜谜语2.