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已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e-x(a≠0)的图象过点(0,-2),且在该点的切线方程为4x-y-2=0.
(Ⅰ)若f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c的值,求导函数,利用切线方程可得b=的值,根据f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,可得(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立,由此可求实数a的取值范围;
(Ⅱ)函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,即y=m和y=f(x)恰好有一个交点,求导函数,再进行分类讨论:①当a>0时,f(x)在区间(-∞,-
2
a
),(2,+∞)单调递减,在(-
2
a
,2)
上单调递增;②当a<0时:(ⅰ)当-
2
a
>2,即-1<a<0时,f(x)在区间(-∞,2),(-
2
a
,+∞)单调递增,在(2,-
2
a
)上单调递减;(ⅱ)当-
2
a
2时,即a<-1 时,f(x)在区间(-∞,-
2
a
),(2,+∞)单调递增,在(-
2
a
,2)上单调递减;(ⅲ)-
2
a
=2时,即a=-1时,f(x)在R上单调增,从而可得结论.
解答:解:(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c=-2…(1分)
求导函数可得f′(x)=(-ax2+2ax-bx+b-c)e-x,∴f′(0)=(b-c)e0=b-c
∵切线方程为4x-y-2=0,∴b-c=4,∴b=2…(3分)
∴f(x)=(ax2+2x-2)e-x,f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x
∵f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,
∴(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立
即-ax-2≥0,∴a≤-
2
x
,∴a≤-1 …(5分)
(Ⅱ)函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,即y=m和y=f(x)恰好有一个交点
∵f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x

①当a>0时,f(x)在区间(-∞,-
2
a
),(2,+∞)单调递减,在(-
2
a
,2)
上单调递增,极大值为f(2)=(4a+2)e-2,极小值为f(-
2
a
)=-2e
2
a
,(当x趋向于+∞时图象在x轴上方,并且无限接近于x轴)
所以m=(-2)e
2
a
或m>(4a+2)e-2,…(8分)
②当a<0时:(ⅰ)当-
2
a
>2,即-1<a<0时,f(x)在区间(-∞,2),(-
2
a
,+∞)单调递增,在(2,-
2
a
)上单调递减,极大值f(2)=(4a+2)e-2,极小值为f(-
2
a
)=-2e
2
a
,(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴)
当(4a+2)e-2≥0,即-
1
2
≤a<0
时,m=(4a+2)e-2或m<(-2)e
2
a

当(4a+2)e-2<0,即-1<a<-
1
2
时,(4a+2)e-2<m<0或m<(-2)e
2
a
…(11分)
(ⅱ)当-
2
a
2时,即a<-1 时,f(x)在区间(-∞,-
2
a
),(2,+∞)单调递增,在(-
2
a
,2)上单调递减,极小值为f(2)=(4a+2)e-2,极大值为f(-
2
a
)=-2e
2
a
,(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴)
∴m=(-2)e
2
a
或m<(4a+2)e-2,…(13分)
(ⅲ)-
2
a
=2时,即a=-1时,f(x)在R上单调增(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴),此时m<0 …(14分)
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的极值,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键.
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π
4
)
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π
6
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1
f(n)
}
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2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
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