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若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则下列结论:
①f(x)的图象关于点对称;②f(x)的图象关于直线对称;③f(x)是周期函数,且2个它的一个周期;④f(x)在区间(-1,1)上是单调函数,其中正确结论的序号是    .(填上你认为所有正确结论的序号)
【答案】分析:根据f(2+x)=-f(x+1)=f(x)可断定函数f(x)为周期函数,故可知③正确;根据f(x)为奇函数,可知函数关于原点对称
根据周期性及f(1+x)=-f(x)可知函数关于(k,0)对称,排除①;根据f(1+x)=-f(x)可推知f(x+)=f(-x)进而推知f(x)的图象关于直线对称;f(x)在区间(-1,0)上和在(0,1)上均为单调函数,但在(-1,1)不是单调函数,故④不正确.
解答:解:f(2+x)=-f(x+1)=f(x),
∴函数是以2为周期的周期函数,故③是正确的.
∵f(x)为定义域为R的奇函数,
∴f(x)函数图象关于原点对称,
∵f(x)为周期函数,周期为2且f(1+x)=-f(x),
∴f(x)函数图象关于点(k,0)(k∈Z)对称,故①不对.
∵f(1+x)=-f(x)
∴f(x+)=f(x-+1)=-f(x-)=f(-x)
∴f(x)的图象关于直线对称,故②正确.
f(x)在区间(-1,0)上和在(0,1)上均为单调函数,但在(-1,1)不是单调函数,故④不正确.
点评:本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合应用.属基础题.
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若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),则下列结论:
①f(x)的图象关于点(
1
2
,0)
对称;
②f(x)的图象关于直线x=
1
2
对称;
③f(x)是周期函数,且2个它的一个周期;
④f(x)在区间(-1,1)上是单调函数.
其中正确结论的序号是
 
.(填上你认为所有正确结论的序号)

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23
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