Question

已知a＞0，函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1，x∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]的极值；
（Ⅲ）若在区间(0，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数在x=1处的导数即切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线的方程．
（II）求出导函数，令导函数为求出两个根，两个的大小引起讨论；判断导函数在根左右两边的符号，判断出函数的单调性，利用极值的定义求出函数的极值．
（III）构造新函数，求出新函数的导数，通过导函数的符号判断函数的单调性，求出函数的最大值，将问题转化为最大值大于0，求出a的范围．

解答：解：∵f′（x）=a²x²-2ax
（I）当a=1时，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=-x+1
（II）令f′（x）=0得x1=0， x2=

2

a

（1）当0＜

2

a

＜1即a＞2时，
x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增
x∈(0，

2

a

)时，f′(x)＜0，f(x)递减x∈(

2

a

，1)时，f′(x)＞0，f(x)递增
所以当x=0时，有极大值

2

3

；当x=

2

a

有极小值

2a-4

3a

（2）当

2

a

≥1即0＜a≤2时，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）递减
所以f（x）极大值为f（0）=

2

3

，无极小值
（III）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

，x∈(0，

1

2

]
F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）
∵x∈(0，

1

2

]，a＞0
∴F′（x）=a²x²+a（1-2x）＞0
∴F(x)在区间(0，

1

2

]上为增函数
则F(x)max=F(

1

2

)
依题意，只需F（x）_max＞0
即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0
解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

(舍去)
所以实数a的取值范围是（-3+

17

，+∞)

点评：本题考查导数的几何意义|在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的单调性、求函数的极值、求函数的最值、考查不等式有解问题等价转化为函数的最值问题．