Question

抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．

Answer 1

【答案】分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a²+b²=c²，求解即可．
解答：解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y²=4c•x，
∵抛物线过点（，），∴6=4c•．
∴c=1，故抛物线方程为y²=4x．
又双曲线-=1过点（，），
∴-=1．又a²+b²=c²=1，∴-=1．
∴a²=或a²=9（舍）．
∴b²=，
故双曲线方程为：4x²-=1．
点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．