Question

动圆M与⊙C₁：（x+3）²+y²=9外切，且与⊙C₂：（x-3）²+y²=1内切．求：
（1）圆心M的轨迹方程；       
（2）圆M面积最小时圆的方程．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知体积列出关系式，结合圆锥曲线的定义，求出圆心M的轨迹方程；       
（2）欲使圆面积最小，只需半径r最小，也就是|MC₁|=r+3取得最小值，
求出r，即可求出圆M面积最小时圆的方程．

解答：解：（1）根据题意，有

|MC1|=r+3 |MC2|=r-1

，∴|MC₁|-|MC₂|=4＜|C₁C₂|=6
所以，圆心M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的一支（右支）M的轨迹方程为

x2

4

-

y2

5

=1(x≥2)…8分
（2）欲使圆面积最小，只需半径r最小，也就是|MC₁|=r+3取得最小值
显然，曲线

x2

4

-

y2

5

=1(x≥2)上到点C₁（-3，0）距离最近的点恰为（2，0）
（此时|MC₂|=r-1也恰好取得最小值）即有M（2，0），r=2
∴圆M面积最小时圆的方程为（x-2）²+y²=4…12分

点评：本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，圆的几何性质的应用，考查计算能力．