Question

（1）求与椭圆

x2

25

+

y2

16

=1共焦点的抛物线的标准方程．
（2）已知两圆C1：(x+4)2+y2=2，C2：(x-4)2+y2=2，动圆M与两圆一个内切，一个外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先确定椭圆的焦点坐标，再求出抛物线的标准方程；
（2）分类讨论，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以点C₁，C₂为焦点的双曲线，从而可得双曲线的标准方程．

解答：解：（1）椭圆

x2

25

+

y2

16

=1中a=5，b=4，∴c=

a2-b2

=3
∴椭圆的焦点坐标为（±3，0）
∵抛物线与椭圆

x2

25

+

y2

16

=1共焦点
∴抛物线方程为y²=12x或y²=-12x；
（2）设动圆圆心M（x，y），半径为r，
当圆M与圆C₁：（x+4）²+y²=2外切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2内切时，|MC₁|=r+

2

，|MC₂|=r-

2

，
当圆M与圆C₁：（x+4）²+y²=2内切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2外切时，|MC₁|=r-

2

，|MC₂|=r+

2

，
∴||MC₁|-|MC₂||=2

2

＜8，
∴点M的轨迹是以点C₁，C₂为焦点的双曲线，且a=

2

，c=4
∴b²=c²-a²=14，
∴动圆圆心M的轨迹方程为

x2

2

-

y2

14

=1．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，掌握椭圆、双曲线、抛物线的性质是关键．