Question

选修4-2：（矩阵与变换）
已知a，b∈R，若矩阵M=

-1 a b 3

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

Answer 1

分析：因为矩阵M=

-1 a b 3

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，也就是说直线l上的点经过变换后没有变，我们可以任取直线l上的两点，对其进行变换列出两个方程，通过解方程求得a，b的值．

解答：解：（方法一）在直线l上取两点（

3

2

，0），（0，-3）．
因为 

-1 a b 3

 

3 2 0

=

- 3 2 3 2 b

，

-1 a b 3

 

0 -3

=

-3a -9

，…（6分）
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点（-

3

2

，

3

2

b），（-3a，-9）仍在直线l上．
代入直线方程得

-3- 3 2 b=3 -6a+9=3

解得

a=1 b=-4

…（10分）
（方法二）设（x，y）为直线l上任意一点，则

-1 a b 3

 

x y

=

-x+ay bx+3y

，…（3分）
因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点（-x+ay，bx+3y）仍在直线l上，
代入直线方程得：2（-x+ay）-（bx+3y）=3，…（7分）
化简得（-2-b）x+（2a-3）y=3，又直线l：2x-y=3，
所以

-2-b=2 2a-3=-1

解得

a=1 b=-4

…（10分）

点评：此题考查在特殊变换下的不变直线，我们可以根据特殊值法进行求解，是非常方便的，这也是高考中常用的方法．