Question

（2013•东莞二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若BC=3，求三棱锥D-BC₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C，交BC₁相交于O，连接OD，可证明OD是△AB₁C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）由已知可得侧棱CC₁⊥面ABC，把计算三棱锥D-BC₁C的体积转化为计算三棱锥C₁-BCD的体积．

解答：解：（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，∴OD∥B₁A．
OD?平BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴侧棱CC₁∥AA₁，
又∵AA₁底面ABC，∴侧棱CC₁⊥面ABC，
故CC₁为三棱锥C₁-BCD的高，A₁A=CC₁=2，
∴S△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

(

1

2

BC•AB)=

3

2

．
∴VD-BCC1=VC1-BCD=

1

3

CC1•S△BCD=

1

3

•2•

3

2

=1．

点评：本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键．