Question

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：x=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为1的直线l过点F，且与曲线C交与A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）由已知：点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：x=-1的距离相等，所以点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由抛物线的定义可得|AF|=d_A=x₁+1|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，由此能求出线段AB的长．

解答：解：（1）由已知条件知，
点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：x=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，
l'为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y²=4x．…（4分）
（2）设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由抛物线的定义可得|AF|=d_A=x₁+1|BF|=d_B=x₂+1…（6分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2
由条件知直线l方程为：y=x-1代入y²=4x，
得 （x-1）²=4x
即 x²-6x+1=0∴x₁+x₂=6，
故|AB|=x₁+x₂+2=8．…（10分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．