Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求

OA

•

OB

的值；
（3）若曲线C上不同的两点M、N满足

OM

•

MN

=0，求|

ON

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，可得

OA

•

OB

=1-4=-3
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用韦达定理及向量的数量积公式，可求

OA

•

OB

的值；
（3）设M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)，利用数量积公式及

OM

•

MN

=0，可得y2=-(y1+

16

y1

)，进一步表示出|

ON

|，即可确定|

ON

|的取值范围．

解答：解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线
∵

p

2

=1，∴p=2，
∴曲线C方程是y²=4x
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由

x=1 y2=4x

，解得A（1，2），B（1，-2）
此时

OA

•

OB

=1-4=-3
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=1，x1+x2=

2k2+4

k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=1+k2-k2•

2k2+4

k2

+k2=1-4=-3
（3）设M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)
∴

OM

=(

y 2 1

4

，y1)，

MN

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)
∵

OM

•

MN

=0
∴

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0
∵y₁≠y₂，y₁≠0，化简得y2=-(y1+

16

y1

)
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

256

+32=64
当且仅当 

y

2 1

=

256

y 2 1

，

y

2 1

=16，y1=±4时等号成立
∵|

ON

|=

( y 2 2 4 )2+ y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

，又∵

y

2 2

≥64
∴当

y

2 2

=64，y2=±8，|

ON

|min=8

5

，
∴|

ON

|的取值范围是[8

5

，+∞)

点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定抛物线的方程，联立方程，利用韦达定理求解．